Algèbre linéaire Exemples

$2 x - 8 y = 4$ , $x - 4 y = 2$

Étape 1

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 2 & - 8 & 4 \\ 1 & - 4 & 2 \end{array}]$

Étape 2

Réduisez en ligne pour éliminer l’une des variables.

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Étape 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 8}{2} & \frac{4}{2} \\ 1 & - 4 & 2 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 1 & - 4 & 2 \end{array}]$

Étape 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 1 - 1 & - 4 + 4 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x - 4 y = 2$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 y = 2 - x$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $- 4 y = 2 - x$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 y = 2 - x$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{2}{- 4} + \frac{- x}{- 4}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{2}{- 4} + \frac{- x}{- 4}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2}{- 4} + \frac{- x}{- 4}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 4$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = \frac{2 (1)}{- 4} + \frac{- x}{- 4}$

Étape 4.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{- x}{- 4}$

Étape 4.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{- x}{- 4}$

Étape 4.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{- 2} + \frac{- x}{- 4}$

Étape 4.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{2} + \frac{- x}{- 4}$

Étape 4.2.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - \frac{1}{2} + \frac{x}{4}$

Étape 5

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(x, - \frac{1}{2} + \frac{x}{4})$

Étape 6

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ - \frac{1}{2} + \frac{x}{4} \end{array}]$